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高数基础-泰勒公式

最近在复习求极限的时候遇到了泰勒公式求极限的方法,不太熟悉,看完了杨超老师的视频有点豁然开朗的感觉

泰勒公式是什么

泰勒公式,也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息,描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒公式可以利用这些导数值来做系数,构建一个多项式近似函数,求得在这一点的邻域中的值。

通俗理解

简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像),注意,逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数,想求其某点的值,直接求无法实现,这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值,这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。

泰勒公式的定义
麦克劳林公式

是泰勒公式的一种特殊情况:即当 X0 = 0 时的泰勒公式,将 X0 = 0 代入公式即可得。常见的初等函数的带有皮亚诺余项的麦克劳林公式:

总结
  • 等价无穷小是从泰勒公式中得到的,所以只要记下常用的几个初等函数的泰勒公式,常用的等价无穷小也就顺理成章的推出来了。

  • 关于泰勒公式的题目,要记住上下同阶。如果不知道要展开到几项(或者说没有分母的时候),就先展开,展开到直到相减或相加的两个函数极限的最大次幂的系数不会互相抵消的时候即可。

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